情報系の物理学課題レポート5

提出日11月２４日
提出期限１１月２９日
g99p1426情報学科二年
森中崇允

<問題>

座標平面上に、原点Oを中心とする楕円がある。
この楕円上に点Pを取り、点Pにおける接線を考える.また、直線OPと楕円との交点のうち、点Pではない方を点Gとする。また、楕円上に点Pとは無関係な点Xを取り、Xを通って接線に平行な直線をLとし、LとOPとの交点をVとする。このとき（PV・GV）/（XV＾２）がXのとり方によらず一定となることを証明せよ.

<解答>

まず、↓の図を見てください.

楕円の特殊な場合として円の場合を考えてみると.
円の場合にしたおかげで
ⅰ）　P'V'⊥X'V'
ⅱ）　円周角∠X'＝∠G’
　より
△P'X'V'∽△T'G'V'
となり、辺の比
X'V'：P'V'＝G'V'：T'V'
X'V'=T'V'をふまえると、
P'V'・G'V'＝T'V'・X'V'＝X'V'＾２　・・・②

これをそのまま楕円に押しつぶすと次の図のようになる.

三角形の相似関係は崩れるが、辺の比に着目してみる.
これらの４つの線分の関係を見るために、取り出して見やすいように移動し、
図のように角度θ,θ',δ,δ'を記す.

楕円は円をY軸方向へ　１/n倍に押しつぶしたものとし、
A＝(1/n)・{sinθ'/sinθ｝
B＝(1/n)・{sinδ'/sinδ｝
とおくと、
PV＝P'V'・A
GV＝G'V'・A
XV＝X'V'・B
TV＝T'V'・B
の関係が成り立つ.
これを②に代入して、変形すると、
PV・GV＝(A^2/B^2)・XV＾２

∴
PV・GV＝ｋ・XV＾２
これは、楕円上のXをどこにとってもそれに対応する円上のX'、V'、T'を考えることにより成り立つことが確かめられる.

<感想>

パラメタθを使って (x,y)=(acosθ,bsinθ)として、辺の長さの比を出す方法もやってみて、
実際できたのですが、グロテスクな式変形になってレポートにするのは
ちょっとかっこ悪いので、よく使われる方法として、円との対応関係を使用
して三角形の相似の関係を使ってとけないか試してみたらうまくいったので.
そちらを出します.
レポートの画像を作る時にフリーで手に入るＭｕｐａｄを使ってみたんですが、
いろいろ書き加える時に面倒になったので止めました.
授業中に、フリーのＭｕｐａｄは表示が崩れると行っていましたが、フォントサイズを11にするといいみたいです.
Mupadオススメページ
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~paoon/OriginalDoc/MuPAD.html